Metodologia
El Método de Diferencias Finitas (FDM) es una técnica para aproximar derivadas que permite obtener soluciones numéricas a Ecuaciones Diferenciales Ordinarias y Parciales.
Para implementar computacionalmente este método con el objetivo de resolver la ecuación de calor, vamos a crear una “grilla” de puntos o “nodos”. El método busca discretizar el espacio y el tiempo de manera que haya una cantidad de puntos en el espacio para los cuales se puedan evaluar variables de estado (en este caso la temperatura) en el tiempo.
Basándonos en esta discretización, escribimos la aproximación de la ecuación de calor y las derivadas propuestas por Powell, A. (2002):
$$ \frac{\partial T}{\partial t} \approx \frac{T_{i,j}^{l+1} - T_{i,j}^{l}}{\Delta t} $$En donde $i$ y $j$ son los índices de las posiciones y $l$ el índice de los puntos temporales.
$$ \frac{\partial^2 T}{\partial x^2} \approx \frac{T_{i+1,j}^{l} - 2T_{i,j}^{l} + T_{i-1,j}^{l}}{(\Delta x)^2} $$$$ \frac{\partial^2 T}{\partial y^2} \approx \frac{T_{i,j+1}^{l} - 2T_{i,j}^{l} + T_{i,j-1}^{l}}{(\Delta y)^2} $$Los errores son de $o[\Delta t]$, $o[(\Delta x)^2]$ y $o[(\Delta y)^2]$ respectivamente.
Armados con estas expresiones, reemplazamos en la ecuación de calor para obtener:
$$ \frac{T_{i,j}^{l+1} - T_{i,j}^{l}}{\Delta t} = c \left[ \frac{T_{i+1,j}^{l} - 2T_{i,j}^{l} + T_{i-1,j}^{l}}{(\Delta x)^2} + \frac{T_{i,j+1}^{l} - 2T_{i,j}^{l} + T_{i,j-1}^{l}}{(\Delta y)^2} \right] $$Finalmente, despejando $T_{i,j}^{l+1}$ (la temperatura en la iteración consecuente):
$$ T_{i,j}^{l+1} = T_{i,j}^{l} + c \cdot \Delta t \cdot \left[ \frac{T_{i+1,j}^{l} - 2T_{i,j}^{l} + T_{i-1,j}^{l}}{(\Delta x)^2} + \frac{T_{i,j+1}^{l} - 2T_{i,j}^{l} + T_{i,j-1}^{l}}{(\Delta y)^2} \right] $$Note que para mantener el criterio de estabilidad se debe cumplir $\Delta t \leq \frac{\Delta x^2}{2c}$
Para efectos de las simulaciones se utilizarán los siguientes valores de difusividad térmica obtenidos aquí, esto ayudará a corroborar los resultados con el comportamiento esperado de acuerdo a las condiciones.
| Material | Diffusivity (mm²/s) |
|---|---|
| Pyrolytic graphite (parallel to layers) | 1220 |
| Diamond | 1060 - 1160 |
| Carbon/carbon composite at 25°C | 216.5 |
| Helium (300 K, 1 atm) | 190 |
| Silver, pure (99.9%) | 165.63 |
| Hydrogen (300 K, 1 atm) | 160 |
| Gold | 127 |
| Copper at 25°C | 111 |
| Aluminium | 97 |
| Silicon | 88 |
| Al-10Si-Mn-Mg (Silafont 36) at 20°C | 74.2 |
| Aluminium 6061-T6 Alloy | 64 |
| Molybdenum (99.95%) at 25°C | 54.3 |
| Al-5Mg-2Si-Mn (Magsimal-59) at 20°C | 44.0 |
| Tin | 40 |
| Water vapor (1 atm, 400 K) | 23.38 |
| Iron | 23 |
| Argon (300 K, 1 atm) | 22 |
| Nitrogen (300 K, 1 atm) | 22 |
| Air (300 K) | 19 |
| Steel, AISI 1010 (0.1% carbon) | 18.8 |
| Aluminium oxide (polycrystalline) | 12.0 |
| Steel, 1% carbon | 11.72 |
| Si₃N₄ with CNTs at 26°C | 9.142 |
| Si₃N₄ without CNTs at 26°C | 8.605 |
| Steel, stainless 304A at 27°C | 4.2 |
| Pyrolytic graphite (normal to layers) | 3.6 |
| Steel, stainless 310 at 25°C | 3.352 |
| Inconel 600 at 25°C | 3.428 |
| Quartz | 1.4 |
| Sandstone | 1.15 |
| Ice at 0°C | 1.02 |
| Silicon dioxide (polycrystalline) | 0.83 |
| Brick, common | 0.52 |
| Glass, window | 0.34 |
| Brick, adobe | 0.27 |
| PC (polycarbonate) at 25°C | 0.144 |
| Water at 25°C | 0.143 |
| PTFE (Polytetrafluoroethylene) at 25°C | 0.124 |
| PP (polypropylene) at 25°C | 0.096 |
| Nylon | 0.09 |
| Rubber | 0.089 - 0.13 |
| Wood (yellow pine) | 0.082 |
| Paraffin at 25°C | 0.081 |
| PVC (polyvinyl chloride) | 0.08 |
| Oil, engine (saturated liquid, 100°C) | 0.0738 |
| Alcohol | 0.07 |